已知函數(shù)f(x)=loga
1-mxx-1
(a>0,a≠1,m≠1)是奇函數(shù).
(1)當(dāng)x∈(n,a-2)時(shí),函數(shù)f(x)的值域是(1,+∞),求實(shí)數(shù)a與n的值;
(2)令函數(shù)g(x)=-ax2+8(x-1)af(x)-5,a≥8時(shí),存在最大實(shí)數(shù)t,使得x∈(1,t]-5≤g(x)≤5恒成立,請寫出t與a的關(guān)系式.
分析:(1)由已知,f(x)+f(-x)=0對定義域中的x均成立.求出m=-1,利用函數(shù)的單調(diào)性求f(x)在x∈(n,a-2)上的值域,列出相應(yīng)的方程組并解出即可.
(2)g(x)=-ax2+8(x-1)af(x)-5=-a(x-
4
a
2+3+
16
a
,利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.
解答:解:(1)由已知條件得f(x)+f(-x)=0對定義域中的x均成立.
log
mx+1
-x-1
a
+
log
1-mx
x-1
a
=0.
 
mx+1
-x-1
 
 
1-mx
x-1
 
=1∴m2x2-1=x2-1對定義域中的x均成立.
=1,m=1(舍去)或=-1,∴m=-1.
∴f(x)=
log
x+1
x-1
a
(x<-1或x>1)
設(shè)t=
x+1
x-1
=1+
2
x-1
,
∴當(dāng)a>1時(shí),f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).
同理當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞)∪(-∞,-1),
∴①當(dāng)n<a-2≤-1時(shí)有0<a<1.
∴f(x)在(n,a-2)為增函數(shù),
要使值域?yàn)椋?,+∞),
log
n+1
n-1
a
=1
a-2=-1
(無解);
②當(dāng)1≤n<a-2時(shí)有a>3.
∴f(x)在(n,a-2)為減函數(shù),
要使f(x)的值域?yàn)椋?,+∞),則
log
a-1
a-3
a
=1
n=1
,
∴a=2+
3
,n=1.
(2)g(x)=-ax2+8(x-1)af(x)-5=-ax2+8(x+1)-5=-a(x-
4
a
2+3+
16
a

則函數(shù)y=g(x)的對稱軸x=
4
a
,∵a≥8∴x=
4
a
∈(0,
1
2
]

∴函數(shù)y=g(x)在(1,t]上單調(diào)減.
則1<x≤t,有g(shù)(t)<g(x)<g(1)
∵g(1)=11-a,又∵a≥8,∴g(1)=11-a≤3<5.
∵t是最大實(shí)數(shù)使得x∈(1,t]-5≤g(x)≤5恒成立
∴-at2+8t+3=-5即at2-8t-8=0.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,函數(shù)值域求解,考查數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想.
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
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(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時(shí),對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為(  )

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已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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