Question

如圖，點F₁（-c，0）、F₂（c，0）分別是橢圓
C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過點F₁作x軸的垂線，交橢圓C的上半部分于點P，過點F₂作PF₂的垂線交直線x=

a2

c

于點Q．
（1）如果點Q的坐標為（4，4），求橢圓C的方程；
（2）試判斷直線PQ與橢圓C的公共點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先求得P點的坐標，根據(jù)PF₂⊥QF₂，可得QF₂的方程，將x=

a2

c

代入，結(jié)合點Q的坐標為（4，4），即可求橢圓C的方程；
（2）求出直線PQ的方程，代入橢圓C的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）解方程組

x=-c x2 a2 + y2 b2 =1

得P點的坐標為(-c，

b2

a

)，
∴kPF2=

b2 a

-c-c

=-

b2

2ac

，
∵PF₂⊥QF₂，
∴kQF2=

2ac

b2

，
∴QF2的方程為：y=

2ac

b2

(x-c)
將x=

a2

c

代入上式解得y=2a，
∴Q點的坐標為(

a2

c

，2a)；
∵Q點的坐標為（4，4），∴

a2

c

=4且2a=4，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）∵Q點的坐標為(

a2

c

，2a)，P點的坐標為(-c，

b2

a

)，
∴kPQ=

2a- b2 a

a2 c -(-c)

=

c(2a2-b2)

a(a2+c2)

=

c

a

，
∴PQ的方程為y-2a=

c

a

(x-

a2

c

)，
即y=

c

a

x+a
將PQ的方程代入橢圓C的方程得b2x2+a2(

c

a

x+a)2=a2b2，
∴（b²+c²）x²+2a²cx+a⁴-a²b²=0①
∵a²=b²+c²
∴方程①可化為a²x²+2a²cx+a²c²=0
解得x=-c
∴直線PQ與橢圓C只有一個公共點．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．