Question

如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上不同于A、B的一點(diǎn)，VA⊥平面ABC，VA=AB．
（I）證明：平面VAC⊥平面VBC；
（II）當(dāng)三棱錐A-VBC的體積最大值時(shí)，求VB與平面VAC所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）由圓周角定理可得BC⊥AC，由線面垂直的性質(zhì)可得BC⊥VA，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可得BC⊥面VAC，再由面面垂直的判定定理得到平面VAC⊥平面VBC；
（II）由（I）可得VA為三棱錐V-ABC的高，故△ABC的面積最大時(shí)，V_A-VBC最大，設(shè)BC=x （0＜x＜2a），由基本不等式，可得三棱錐A-VBC的體積最大值時(shí)BC的長(zhǎng)，結(jié)合（1）中BC⊥面VAC，則∠BVC為VB與平面VAC所成角，解三角形可得答案．

解答：證明：（I）∵AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，
∴BC⊥AC，…（2分）
由VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥VA，
而AC∩VA=A，AC，VA?平面VAC
∴BC⊥面VAC，…（4分）
由BC?平面VBC，
∴平面VAC⊥平面VBC．…（6分）
解：（II）∵VA⊥平面ABC，
∴VA為三棱錐V-ABC的高，
則VA-VBC=VV-ABC=

1

3

S△ABC•VA=

2a

3

S△ABC，
當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，V_A-VBC最大．…（8分）
設(shè)AB=2a，
設(shè)BC=x （0＜x＜2a），則AC=

4a2-x2

，
則S△ABC=

1

2

x•

4a2-x2

=

1

2

x2(4a2-x2)

=

1

2

-(x2-2a2)+4a4

∴當(dāng)x²=2a²時(shí)，即x=

2

a∈(0，2a)時(shí)，△ABC的面積最大，V_A-VBC最大．…（10分）
由（1）知：BC⊥面VAC，則∠BVC為VB與平面VAC所成角，…（12分）
在Rt△VBC中，BC=

2

a，VB=2

2

a，sin∠BVC=

BC

VB

=

1

2

，
∴∠BVC=30°，
故直線VB與平面VAC所成角為30°．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，（I）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直與面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（II）的關(guān)鍵是求出線面夾角的平面角，將空間線面夾角轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．