Question

6．若函數(shù)f（x）=ax³-bx+4，當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）有極值$-\frac{4}{3}$．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若方程f（x）=k有3個不同的根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（2）=-$\frac{4}{3}$，f′（2）=0列方程解出a，b得出f（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；
（2）求出f（x）的極大值和極小值，則k介于f（x）的極大值與極小值之間．

解答 解：（1）f'（x）=3ax²-b，由題意得$\left\{\begin{array}{l}f'（2）=12a-b=0\\ f（2）=8a-2b+4=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=4\end{array}\right.$．
∴$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．f'（x）=x²-4，
∴$f'（1）=-3，f（1）=\frac{1}{3}$，
∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：$y-\frac{1}{3}=-3（x-1）$，即9x+3y-10=0．
（2）由（1）可得f'（x）=x²-4，令f'（x）=0，得x=2或x=-2．
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	$\frac{28}{3}$	↓	-$\frac{4}{3}$	↑?

∴當(dāng)x=-2時，f（x）有極大值$\frac{28}{3}$，當(dāng)x=2，時，f（x）有極小值-$\frac{4}{3}$，
所以函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$的圖象大致如圖所示．

若f（x）=k有3個不同的根，所以-$\frac{4}{3}$＜k＜$\frac{28}{3}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，極值的關(guān)系，屬于中檔題．