Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1（n≥2），數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=3，b_n+2=3b_n+1-2b_n．
（1）求a_n；
（2）證明數(shù)列{b_n+1-b_n}與數(shù)列{b_n+1-2b_n}均是等比數(shù)列，并求b_n；
（3）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以$\sqrt{{a}_{1}}$=1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，S_n=n²，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，當(dāng)n=1時，a₁=1上式成立，a_n=2n-1；
（2）由b_n+2=3b_n+1-2b_n，則b_n+2-b_n+1=2（b_n+1-b_n），b_n+2-2b_n+1=b_n+1-2b_n，則{b_n+1-b_n}與數(shù)列{b_n+1-2b_n}均是等比數(shù)列，公比為2和1，b_n+1-b_n=2ⁿ，b_n+1-2b_n=1，即可求得b_n；
（3）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-（2n-1），令d_n=（2n-1）•2ⁿ，記R_n=d₁+d₂+…+d_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）．2ⁿ，再由錯位相減求和法求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，則{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以$\sqrt{{a}_{1}}$=1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=n，則S_n=n²，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時，a₁=1上式成立，
∴a_n=2n-1；
（2）b_n+2=3b_n+1-2b_n，則b_n+2-b_n+1=2（b_n+1-b_n），b_n+2-2b_n+1=b_n+1-2b_n，
由b₂-b₁=2≠0，b_n+2-2b_n+1=1≠0，
數(shù)列{b_n+1-b_n}與數(shù)列{b_n+1-2b_n}均是等比數(shù)列，公比為2和1，
∴b_n+1-b_n=2ⁿ，b_n+1-2b_n=1，
∴b_n=2ⁿ-1；
（3）由a_n=2n-1，b_n=2ⁿ-1，
則c_n=a_n•b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-（2n-1），
令d_n=（2n-1）•2ⁿ，記R_n=d₁+d₂+…+d_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）．2ⁿ
則2R_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
相減，故R_n=-2-2•2²-2•2³-…-2•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
故T_n=R_n-[1+3+5+…+（2n-1）]=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6-n²，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6-n²．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列求和，解題時要注意公式的靈活運用，特別是錯位相減求和法的合理運用，屬于中檔題．