Question

據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，距S島300km的正東方向的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30km的速度向北偏西30°的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270km以?xún)?nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響．問(wèn)：
（1）S島是否受其影響？
（2）若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)多少小時(shí)S島開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的影響？持續(xù)時(shí)間多久？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)t小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，根據(jù)題意求得∠SAB，在△SAB中利用余弦定理得關(guān)于t的關(guān)系式，若S島受到臺(tái)風(fēng)影響，則應(yīng)滿(mǎn)足條件
|SB|≤27O，?化簡(jiǎn)整理可解得t的范圍，進(jìn)而得到答案．

解答：解：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)t小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，?
由題意，∠SAB=9O°-3O°=6O°?
在△SAB中，SA=3OO，AB=3Ot，∠SAB=6O°，?
由余弦定理得：SB²=SA²+AB²-2SA•AB•COS∠SAB=300²+（30t）²-2•300•30t•cos60°
若S島受到臺(tái)風(fēng)影響，則應(yīng)滿(mǎn)足條件?
|SB|≤27O即SB²≤27O²?
化簡(jiǎn)整理得t²-1Ot+19≤O?
解之得5-

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≤t≤5+

6

所以從現(xiàn)在起，經(jīng)過(guò)5-

6

小時(shí)S島開(kāi)始受到影響，5+

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小時(shí)后影響結(jié)束，持續(xù)時(shí)間：(5+

6

)-(5-

6

)=2

6

小時(shí)．?
答：S島受到臺(tái)風(fēng)影響，從現(xiàn)在起，經(jīng)過(guò)（5-

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）小時(shí)，臺(tái)風(fēng)開(kāi)始影響S島，且持續(xù)時(shí)間為2

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小時(shí)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用．由于余弦定理是一個(gè)二次冪的關(guān)系式，故可利用二次不等式的性質(zhì)，來(lái)解決一些問(wèn)題．