Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，an+1=

n+2

n

Sn(n≥1，n∈N*)．
（1）求證：數(shù)列{

Sn

n

}是等比數(shù)列；
（2）求a_n．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，可得Sn+1-Sn=

n+2

n

Sn，化簡可得結(jié)論；
（2）確定

Sn

n

=2n-1，進而利用數(shù)列遞推式，即可求a_n．

解答：（1）證明：∵an+1=

n+2

n

Sn，∴Sn+1-Sn=

n+2

n

Sn
∴Sn+1=

2n+2

n

Sn
∴

Sn+1

n+1

=2

Sn

n

∵a₁=1，∴

S1

1

=1
∴數(shù)列{

Sn

n

}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，

Sn

n

=2n-1
∵an+1=

n+2

n

Sn，∴an+1=(n+2)•2n-1
∴an=(n+1)•2n-2（n≥2）
∵a₁=1，∴也符合上式
∴an=(n+1)•2n-2

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項，屬于中檔題．