Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，點M是棱PC的中點，N是棱PB的中點，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于點O．
（1）求證：平面OMN∥平面PAD；
（2）若DM與平面PAC所成角的正切值為2，求PA長．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，點M是棱PC的中點，N是棱PB的中點，易得OM∥PA，MN∥BC∥AD，結合面面垂直的判定定理，即可得到平面OMN∥平面PAD；
（2）由PA⊥平面ABCD，OM∥PA，可得OM⊥OD，又由OD⊥AC結合線面垂直的判定定理，可得OD⊥面PAC，則∠DMO即為DM與平面PAC所成的角，根據(jù)DM與平面PAC所成角的正切值為2，解三角形DMO即可得到OM的長，進而求出PA的長．

解答：證明：（1）OM∥PA，MN∥BC∥AD，
又∵OM∩MN=M，PA∩AD=A，∴面OMN∥面PAD（7分）
解：（2）PA⊥平面ABCD，∴PA⊥OD，又∵OM∥PA∴OM⊥OD
又OD⊥AC，∴OD⊥面PAC∴∠DMO即為DM與平面PAC所成的角．（11分）
∴

DO

OM

=2，OM=

1

2

DO=

3

2

， ∴PA=2OM=

3

(14分)

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，平面與平面平行的判定，（1）的關鍵是熟練掌握平面與平面平行的判定定理，（2）的關鍵是構造出∠DMO即為DM與平面PAC所成的角，將空間兩點之間的距離問題轉化為解三角形問題．