【題目】已知直線過點,圓:.
(1)求截得圓弦長最長時的直線方程;
(2)若直線被圓N所截得的弦長為,求直線的方程.
【答案】(1) ;(2)或.
【解析】試題分析:(1)把圓N的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,找出圓心的坐標(biāo),根據(jù)題意可知直線過圓心時截得的弦最長,故由及的坐標(biāo)確定出直線的方程即可;(2)設(shè)直線與圓交于和兩點的坐標(biāo),過圓心作垂直于,根據(jù)垂徑定理得到為的中點,從而得到,接下來分兩種情況考慮:第一,直線的斜率不存在時,可得直線的方程為,把代入圓的方程中,得到關(guān)于的一元二次方程,求出方程的解得到的值,經(jīng)過檢驗得到時,弦的長為,符合題意;第二,當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)出直線的斜率為,由的坐標(biāo)和設(shè)出的斜率寫出直線的方程,在直角三角形中,由的長及半徑的長,利用勾股定理求出的長,然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離,令等于求出的的長列出關(guān)于的方程,求出方程的解得到的值,確定出直線的方程,綜上,得到所有滿足題意的直線的方程.
試題解析:(1)顯然,當(dāng)直線通過圓心N時,被截得的弦長最長,由,得 故所求直線的方程為,即.
(2)設(shè)直線與圓N交于兩點(如圖),作交直線于點D,顯然D為AB的中點,且有
(Ⅰ)若直線的斜率不存在,則直線的方程為,將代入,得,解得,
因此符合題意
(Ⅱ)若直線的斜率存在,不妨設(shè)直線的方程為 即: ,由,得, ,因此,又因為點N到直線的距離
所以,即: ,此時直線的方程為,綜上可知,直線的方程為或.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了保護(hù)學(xué)生的視力,教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換.已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下表:
天數(shù)/天 | 151~180 | 181~210 | 211~240 | 241~270 | 271~300 | 301~330 | 331~360 | 361~390 |
燈管數(shù)/只 | 1 | 11 | 18 | 20 | 25 | 16 | 7 | 2 |
(1)試估計這種日光燈的平均使用壽命;
(2)若定期更換,可選擇多長時間統(tǒng)一更換合適?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 在區(qū)間[﹣ , ]上有f(x)>0恒成立,則a的取值范圍為( )
A.(0,2]
B.[2,+∞)
C.(0,5)
D.(2,5]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3x2 . (Ⅰ) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 若f(x)的定義域為[﹣1,m]時,值域為[﹣4,0],求m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)= ,其中.
(1)證明:當(dāng)時,函數(shù)在上為增函數(shù);
(2)設(shè)函數(shù)= ,若函數(shù)只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍,并求出該零點(可用表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB=BC,D為線段AC的中點.
(1)求證:PA⊥BD.
(2)求證:BD⊥平面PAC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,且,向量, .
(1)求函數(shù)的解析式,并求當(dāng)時, 的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時, 的最大值為5,求的值;
(3)當(dāng)時,若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前55個圈中的●的個數(shù)是( )
A.10
B.9
C.8
D.11
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),且其正態(tài)曲線在(-∞,80)上是增函數(shù),在(80,+∞)上為減函數(shù),且P(72≤X≤88)=0.682 6.
(1)求參數(shù)μ,σ的值;
(2)求P(64<X≤72).
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