Question

4．在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且a=1，$A=\frac{π}{6}$．
（Ⅰ）當(dāng)$b=\sqrt{3}$，求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC面積最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合范圍B∈（0，$\frac{5π}{6}$），可求B的值，進(jìn)而可求C的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理，基本不等式可求1≥bc，進(jìn)而利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵a=1，A=$\frac{π}{6}$，b=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵B∈（0，$\frac{5π}{6}$），
∴B=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$．
∴C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，或$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）∵a=1，A=$\frac{π}{6}$．
∴由余弦定理可得：
a²=b²+c²-2bccosA
即1=b²+c²-$\sqrt{3}$bc≥2bc-$\sqrt{3}$bc=（2-$\sqrt{3}$）bc，
所以bc≤$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)等號(hào)成立）
∴S_ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)等號(hào)成立），即△ABC面積最大值$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．