Question

16．等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₄=11，記數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為S_n，若對任意的n∈N⁺，都有S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{20}$成立，則整數(shù)m的最小值為（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通項公式，證明數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，可得其最大值，從而求出m的取值范圍，結合m為正整數(shù)，即可求出m的值．

解答 解：等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₄=11，
∴公差d=$\frac{{a}_{4}{-a}_{2}}{4-2}$=3
∴a_n=5+3（n-2）=3n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3n-1}$，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）=（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）-（$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+3}}$）
=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+2}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+3}}$=$\frac{1}{3n+2}$-$\frac{1}{6n+5}$-$\frac{1}{6n+8}$=（$\frac{1}{6n+4}$-$\frac{1}{6n+5}$）+（$\frac{1}{6n+4}$-$\frac{1}{6n+8}$）＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項為S₃-S₁=$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{5}$=$\frac{13}{40}$；
∴只需$\frac{13}{40}$≤$\frac{m}{20}$，變形可得m≥$\frac{13}{2}$，
又∵m是正整數(shù)，∴m的最小值為7．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列與不等式的結合，證數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列并求數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值是解決問題的關鍵，是綜合性題目．