Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，設，.

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）若，，求實數(shù)的最小值；

（Ⅲ）當時，給出一個新數(shù)列，其中，設這個新數(shù)列的前項和為，若可以寫成（，且，）的形式，則稱為“指數(shù)型和”.問中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）；（III）為指數(shù)型和.

【解析】

（I）通過計算證明證得，來證得數(shù)列是等比數(shù)列.

（II）利用求得數(shù)列的通項公式，由，，求得的最小值.

（III）先求得的通項公式，對分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進行分類討論，根據(jù)“指數(shù)型和”的定義，求出符合題意的“指數(shù)型和”.

（I），.由于，當時，，所以數(shù)列是等比數(shù)列.，.

（II）由（I）得，，所以.因為，.當時，

，，而，所以，即，化簡得，由于當時，單調(diào)遞減，最大值為，所以

，又，所以的最小值為.

（III）由（I）當時，，當時，.也符合上式，所以對正整數(shù)都有.由，（且），只能是不小于的奇數(shù).

①當為偶數(shù)時，，由于和都是大于的正整數(shù)，所以存在正整數(shù)，使得，，所以，且，相應的，即有，為“指數(shù)型和”；

② 當為奇數(shù)時，，由于是個奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又為正偶數(shù)，所以不成立，此時沒“指數(shù)型和”.

綜上所述，中的項存在“指數(shù)型和”，為.