已知橢圓：，
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍；
（3）過原點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線與橢圓：相交于四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到四邊形的一邊距離為，試求時(shí)滿足的條件.

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）利用已知條件找出解出、即得；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組消去得到關(guān)于的方程，由求出的范圍；（3）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組消去到關(guān)于的方程，利用、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式求解.
試題解析：（1）依題意，，解得，故橢圓的方程為.
（2）如圖，依題意，直線的斜率必存在，

設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
由韋達(dá)定理，，，
,
因?yàn)橹本�與橢圓相交，則，
即，解得或，
當(dāng)為銳角時(shí)，向量，則，
即，解得，
故當(dāng)為銳角時(shí)，.
如圖，

依題意，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，，由于，
，即，又，
          ①
聯(lián)立方程組，消去得，
由韋達(dá)定理得，，代入①得
，
令點(diǎn)到直線的距離為1，則，即，
，
整理得.
考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)，記直線的斜率分別為，當(dāng)最大時(shí)，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖已知橢圓的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸是短軸的2倍且過點(diǎn)，平行于的直線在y軸的截距為，且交橢圓與兩點(diǎn)，

（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍；（3）求證：直線、與x軸圍成一個(gè)等腰三角形，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且｜F1F2｜＝2，點(diǎn)P（1，）在橢圓C上.

（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動(dòng)直線：與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且，，四邊形面積S的求最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率．
（I）求橢圓的方程；（II）已知直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)．求證：以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線C，直線過點(diǎn)且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線M： 的準(zhǔn)線過橢圓N： 的左焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以t（t>0）為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線M的方程.
（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x1，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x2，曲線M上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x1+2，求直線CD的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓方程為，過右焦點(diǎn)斜率為1的直線到原點(diǎn)的距離為.

(1)求橢圓方程.
(2)已知為橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，為橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，為過點(diǎn)且垂直軸的直線，點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)為以為直徑的圓與直線的一個(gè)交點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)、，若動(dòng)點(diǎn)滿足．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程；
（2）在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線：的距離最小．

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同步練習(xí)冊答案