Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4，（-1≤x＜0）}\\{sinπx，（x＞0）}\end{array}\right.$且f（x）-ax≥-1對(duì)于定域內(nèi)的任意的x恒成立，則a的取值范圍是-6≤a≤0．

Answer 1

分析 利用轉(zhuǎn)化法不等式化為f（x）+1≥ax，再分類討論分段函數(shù)對(duì)應(yīng)的解析式，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由f（x）-ax≥-1得f（x）+1≥ax，
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式等價(jià)為sinπx+1≥ax，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，sinπx+1≥0，
而y=ax過(guò)原點(diǎn)，∴此時(shí)則a≤0，
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，不等式的等價(jià)為x²+5≥ax，
即$\frac{{x}^{2}+5}{x}$≤a，
即x+$\frac{5}{x}$≤a恒成立，
設(shè)g（x）=x+$\frac{5}{x}$，則g′（x）=1-$\frac{5}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-5}{{x}^{2}}$，
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
則g（x）≤g（-1）=-1-5=-6，
即a≥-6；
綜上，a的取值范圍是-6≤a≤0．
故答案為：-6≤a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法結(jié)合分類討論轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．