【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,點(diǎn)B在線段CD上,且,過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求曲線的方程;
(2)已知直線與圓相切于點(diǎn),且與曲線相交于,兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,求三角形面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)根據(jù)已知條件及橢圓的定義即可得到曲線的方程.
(2)根據(jù)直線的斜率存在且不為,利用直線與圓相切得到,聯(lián)立直線與橢圓,利用韋達(dá)定理求出的中點(diǎn)坐標(biāo)及的垂直平分線方程,利用圓心到直線的距離求出,再化簡求其最值即可得到三角形面積的最大值.
(1)如圖所示:
因?yàn)?/span>,,
故,所以,
故,
所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn),的橢圓,
故,,
所以點(diǎn)的軌跡方程為:.
(2)由題意,直線的斜率存在且不為,設(shè)直線的方程為,
因?yàn)橹本與圓相切,所以,即:.
由消去得:.
設(shè),由韋達(dá)定理知:
,.
所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為,
所以的垂直平分線方程為,
即.
為點(diǎn)到垂直平分線的距離,
所以.
將代入得
(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號).
所以三角形的面積為,
綜上所述,三角形的面積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校共有學(xué)生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間(單位:小時(shí)).
(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?
(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的頻率分布表:
時(shí)間(小時(shí)) | [0,1] | (1,2] | (2,3] | (3,4] | (4,5] | (5,6] |
頻率 | 0.05 | 0.20 | 0.30 | 0.25 | 0.15 | 0.05 |
若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí),請完成每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”?
男生 | 女生 | 總計(jì) | |
每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過2小時(shí) | |||
每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí) | |||
總計(jì) |
附:K2.
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某醫(yī)院為篩查某種疾病,需要檢驗(yàn)血液是否為陽性,現(xiàn)有()份血液樣本,有以下兩種檢驗(yàn)方式:(1)逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)次;(2)混合檢驗(yàn),將其中(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這份的血液全為陰性,因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性,為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.
(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份樣本為陽性,若采用逐份檢驗(yàn)方式,求恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率.
(2)現(xiàn)取其中(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為
(。┰囘\(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識,若 ,試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(ⅱ)若,采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少,求的最大值.
參考數(shù)據(jù):,,,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“干支紀(jì)年法”是中國歷法自古以來就使用的紀(jì)年方法,甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸為十天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為十二地支.“干支紀(jì)年法”是以一個(gè)天干和一個(gè)地支按上述順序相配排列起來,天干在前,地支在后,已知2017年是丁酉年,2018年是戊戌年,2019年是已亥年,依此類推,則2080年是____________年.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在下列結(jié)論中:
①若向量共線,則向量所在的直線平行;
②若向量所在的直線為異面直線,則向量一定不共面;
③若三個(gè)向量兩兩共面,則向量共面;
④已知空間的三個(gè)向量,則對于空間的任意一個(gè)向量總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上,焦點(diǎn)為,圓O的直徑為.
(1)求橢圓C及圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P,且直線l與橢圓C交于兩點(diǎn).記 的面積為,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年4月,北京世界園藝博覽會開幕,為了保障園藝博覽會安全順利地進(jìn)行,某部門將5個(gè)安保小組全部安排到指定的三個(gè)不同區(qū)域內(nèi)值勤,則每個(gè)區(qū)域至少有一個(gè)安保小組的排法有( )
A.150種B.240種C.300種D.360種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】首屆中國國際進(jìn)口博覽會于2018年11月5日至10日在上海的國家會展中心舉辦.國家展、企業(yè)展、經(jīng)貿(mào)論壇、高新產(chǎn)品匯集……首屆進(jìn)博會高點(diǎn)紛呈.一個(gè)更加開放和自信的中國,正用實(shí)際行動為世界構(gòu)筑共同發(fā)展平臺,展現(xiàn)推動全球貿(mào)易與合作的中國方案.
某跨國公司帶來了高端智能家居產(chǎn)品參展,供購商洽談采購,并決定大量投放中國市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬美元,每生產(chǎn)一臺需另投入90美元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完,每萬臺的銷售收入為萬美元,
(1)寫出年利潤(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬臺)的函數(shù)解析式;(利潤=銷售收入-成本)
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時(shí),該公司獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中正確的有( )
A.將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后,方差不變;
B.設(shè)有一個(gè)線性回歸方程,變量增加1個(gè)單位時(shí),平均增加5個(gè)單位;
C.設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量,的相關(guān)系數(shù)為,則越接近于0,和之間的線性相關(guān)程度越弱;
D.在一個(gè)列聯(lián)表中,由計(jì)算得的值,在的前提下,的值越大,判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大.
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