【題目】如圖,設(shè)橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,A,B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn).直線y=6x與C的交點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 ,過點(diǎn)B作x軸的垂線l,D為l 上異于點(diǎn)B的一點(diǎn),以BD為直徑作圓E.
(1)求C 的方程;
(2)若直線AD與C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,證明PF與圓E相切.
【答案】
(1)解:由題意可知, ,∴a=2c,
又a2=b2+c2,則b2=3c2.
設(shè)橢圓C的方程為 ,
聯(lián)立 ,解得x= ,∴c=1,a=2,b2=3.
故橢圓C的方程為 ;
(2)證明:由(1)可得F(1,0),設(shè)圓E的圓心為(2,t)(t≠0),則D(2,2t),
則圓E的半徑R=t.
直線AD的方程為y= .
聯(lián)立 ,得(3+t2)x2+4t2x+4t2﹣12=0.
由 ,得 , .
直線PF的方程為 ,
即2tx+(t2﹣1)y﹣2t=0.
∵點(diǎn)E(2,t)到直線PF的距離為d= ,
∴直線PF與圓E相切.
【解析】(1)根據(jù)題意得到,再聯(lián)立直線方程,得到交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合距離為,可得到橢圓的方程,(2)由橢圓方程得出焦點(diǎn)F的坐標(biāo),設(shè)其圓E的圓心坐標(biāo)和半徑,得到直線AD的方程,聯(lián)立橢圓方程得到P點(diǎn)的坐標(biāo),表示出PF的直線方程,根據(jù)點(diǎn)E到PF的距離不難得到PF與圓E相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有器中米,不知其數(shù),前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.問,米幾何?”如圖是解決該問題的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸出的S=1.5(單位:升),則輸入k的值為( 。
A.4.5
B.6
C.7.5
D.9
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C1:x2+y2=r2(r>0)與直線l0:y= 相切,點(diǎn)A為圓C1上一動(dòng)點(diǎn),AN⊥x軸于點(diǎn)N,且動(dòng)點(diǎn)M滿足 ,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線C的方程;
(2)若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)P、Q且滿足以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,求線段PQ長度的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等腰梯形ABCD中AB∥CD,AB=2CD=4,∠BAD=60°,雙曲線以A,B為焦點(diǎn),且與線段CD(包括端點(diǎn)C、D)有兩個(gè)交點(diǎn),則該雙曲線的離心率的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代名著《莊子天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,其意思為:一尺的木棍,每天截取一半,永遠(yuǎn)都截不完,現(xiàn)將該木棍依此規(guī)律截取,如圖所示的程序框圖的功能就是計(jì)算截取7天后所剩木棍的長度(單位:尺),則①②③處可分別填入的是( 。
A.①i≤7?②s=s﹣ ③i=i+1
B.①i≤128?②s=s﹣ ③i=2i
C.①i≤7?②s=s﹣ ③i=i+1
D.①i≤128?②s=s﹣ ③i=2i
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}及{bn}中,an+1=an+bn+ =1.設(shè) ,則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為( )
A.
B.2n+2﹣4
C.3×2n+2n﹣4
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程是 (m為參數(shù)),直線l交曲線C1于A,B兩點(diǎn);以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=4sin(θ﹣ ),點(diǎn)P(ρ, )在曲線C2上.
(1)求曲線C1的普通方程及點(diǎn)P的直角坐標(biāo);
(2)若直線l的傾斜角為 且經(jīng)過點(diǎn)P,求|PA|+|PB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) , .
(1)求函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若 ,解不等式 ;
(3)若 ,且對(duì)任意 ,方程 在 總存在兩不相等的實(shí)數(shù)根,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.
根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( 。
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)
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