Question

如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過細(xì)繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離（即OB）為2m，在圓環(huán)上設(shè)置三個等分點(diǎn)A₁，A₂，A₃．點(diǎn)C為OB上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)O、B），同時點(diǎn)C與點(diǎn)A₁，A₂，A₃，B均用細(xì)繩相連接，且細(xì)繩CA₁，CA₂，CA₃的長度相等．設(shè)細(xì)繩的總長為ym．
（1）設(shè)∠CA₁O=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請你設(shè)計θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時，細(xì)繩總長y最小，并指明此時 BC應(yīng)為多長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于細(xì)繩的總長包括CB長及CA₁，CA₂，CA₃的長，，CO=2tanθ，故可表示細(xì)繩的總長；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最小值，由于是單峰函數(shù)，故極值點(diǎn)就為最值點(diǎn)，所以利用求極值的方法可求最值．
解答：解：（1）在Rt△COA₁中，，CO=2tanθ，…（2分）=（）…（7分）
（2），
令y'=0，則…（12分）
當(dāng)時，y'＞0；時，y'＜0，
∵y=sinθ在上是增函數(shù)
∴當(dāng)角θ滿足時，y最小，最小為；此時BC=m       …（16分）
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，主要考查引進(jìn)角參數(shù)，構(gòu)建三角函數(shù)模型，同時考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最小值，由于是單峰函數(shù)，故極值點(diǎn)就為最值點(diǎn)