Question

11．如圖，O是以AB為直徑的圓，且AB=4，點P，Q在圓O上（與A，B不重合）
（1）若PB=2，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{AB}$；
（2）若∠PAB=30．且點Q與P關(guān)于直線AB對稱，$\overrightarrow{OA}$=a，$\overrightarrow{OP}$=b，求$\overrightarrow{OQ}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用平面向量的線性運算與勾股定理，即可求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{AB}$的值；
（2）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)表示，即可求出$\overrightarrow{OQ}$的坐標(biāo)表示．

解答 解：（1）根據(jù)題意，AB為圓O的直徑，∴PA⊥PB，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$）
=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-${\overrightarrow{PA}}^{2}$
=0-${\overrightarrow{PA}}^{2}$
=-（${\overrightarrow{AB}}^{2}$-${\overrightarrow{PB}}^{2}$）
=-（4²-2²）
=-12；
（2）建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示
∠PAB=30°，且點Q與P關(guān)于直線AB對稱，
∴$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$=（-2，0），
$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow$=（2cos60°，2sin60°）=（1，$\sqrt{3}$）；
又$\overrightarrow{OQ}$=（1，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{OQ}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OP}$，x、y∈R；
∴（1-$\sqrt{3}$）=（-2x+y，$\sqrt{3}$y），
即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+y=1}\\{\sqrt{3}y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得x=-1，y=-1；
∴$\overrightarrow{OQ}$=-$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$=-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$．

點評 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，是綜合性題目．