【題目】如圖,已知城市周邊有兩個小鎮(zhèn)、,其中鄉(xiāng)鎮(zhèn)位于城市的正東方處,鄉(xiāng)鎮(zhèn)與城市相距,與夾角的正切值為2,為方便交通,現(xiàn)準(zhǔn)備建設(shè)一條經(jīng)過城市的公路,使鄉(xiāng)鎮(zhèn)和分別位于的兩側(cè),過和建設(shè)兩條垂直的公路和,分別與公路交匯于、兩點(diǎn),以為原點(diǎn),所在直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)當(dāng)兩個交匯點(diǎn)、重合,試確定此時路段長度;
(2)當(dāng),計算此時兩個交匯點(diǎn)、到城市的距離之比;
(3)若要求兩個交匯點(diǎn)、的距離不超過,求正切值的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)先求出直線的斜率為1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,再利用點(diǎn)到直線的距離為|BD|=;(2)設(shè)直線AB的斜率為,先求出再求出,即得;(3)先求出,再求出解不等式即得解.
(1)當(dāng)兩個交匯點(diǎn)、重合時,則AC,BD公路共線,
過點(diǎn)B作BE⊥AO,垂足為E, 則,
所以AE=,所以|BE|=|AE|,
所以直線AB的傾斜角為,所以直線AB的斜率為,
所以直線的斜率為1,
因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為,所以|BD|=.
(2)由題得A(21,0),設(shè)直線AB的斜率為,
所以直線AB的方程為,
因?yàn)?/span>|AC|=|BD|,
所以.
由題得,
所以,
所以.
(3)由題得
,
所以,
所以.
因?yàn)?/span>,
所以
解之得.
故正切值的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著計算機(jī)的出現(xiàn),圖標(biāo)被賦予了新的含義,又有了新的用武之地.在計算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域,圖標(biāo)成了具有明確指代含義的計算機(jī)圖形.如圖所示的圖標(biāo)是一種被稱之為“黑白太陽”的圖標(biāo),該圖標(biāo)共分為3部分.第一部分為外部的八個全等的矩形,每一個矩形的長為3、寬為1;第二部分為圓環(huán)部分,大圓半徑為3,小圓半徑為2;第三部分為圓環(huán)內(nèi)部的白色區(qū)域.在整個“黑白太陽”圖標(biāo)中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自圖標(biāo)第三部分的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,動圓與圓外切,且圓與直線相切,記動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)設(shè)過定點(diǎn)的動直線與曲線交于兩點(diǎn),試問:在曲線上是否存在點(diǎn)(與兩點(diǎn)相異),當(dāng)直線的斜率存在時,直線的斜率之和為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的三邊分別為所對的角分別為,且三邊滿足,已知的外接圓的面積為,設(shè).則的取值范圍為______,函數(shù)的最大值的取值范圍為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,為內(nèi)一點(diǎn),若分別滿足下列四個條件:
①;
②;
③;
④;
則點(diǎn)分別為的( )
A.外心、內(nèi)心、垂心、重心B.內(nèi)心、外心、垂心、重心
C.垂心、內(nèi)心、重心、外心D.內(nèi)心、垂心、外心、重心
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一旅游景區(qū)供游客行走的路線圖,假設(shè)從進(jìn)口開始到出口,每遇到一個岔路口,每位游客選擇其中一條道路行進(jìn)是等可能的.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁共名游客結(jié)伴到旅游景區(qū)游玩,他們從進(jìn)口的岔路口就開始選擇道路自行游玩,并按箭頭所指路線行走,最后到出口集中,設(shè)點(diǎn)是其中的一個交叉路口點(diǎn).
(1)求甲經(jīng)過點(diǎn)的概率;
(2)設(shè)這名游客中恰有名游客都是經(jīng)過點(diǎn),求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】古希臘雅典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論,利用尺規(guī)作圖可畫出己知線段的黃金分割點(diǎn),具體方法如下:(l)取線段AB=2,過點(diǎn)B作AB的垂線,并用圓規(guī)在垂線上截取BC=AB,連接AC;(2)以C為圓心,BC為半徑畫弧,交AC于點(diǎn)D;(3)以A為圓心,以AD為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)E.則點(diǎn)E即為線段AB的黃金分割點(diǎn).若在線段AB上隨機(jī)取一點(diǎn)F,則使得BE≤AF≤AE的概率約為( 。▍⒖紨(shù)據(jù):2.236)
A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形中,,,,,,分別在,上,,現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面.
(Ⅰ)若,在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn),且,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由;
(Ⅱ)當(dāng)三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值.
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