Question

14．已知S=（x-a）²+（lnx-a）²（a∈R），則S的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可得S的幾何意義為兩點（x．lnx），（a，a）的距離的平方，求得與直線y=x平行且與曲線y=lnx相切的切點的坐標，運用點到直線的距離公式計算即可得到所求最小值．

解答 解：S=（x-a）²+（lnx-a）²（a∈R）的幾何意義為：
兩點（x．lnx），（a，a）的距離的平方，
由y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$，
點（a，a）在直線y=x上，
令$\frac{1}{x}$=1，可得x=1，
即有與直線y=x平行的直線且與曲線y=lnx相切的切點為（1，0），
由點到直線的距離可得d=$\frac{|1-0|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有S的最小值為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查最值的求法，注意運用兩點的距離的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，以及點到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題．