Question

【題目】f(x)對任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.

(1)求f和f＋的值；

(2)數列{an}滿足：an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，數列{an}是等差數列嗎？請給予證明；

(3)令bn＝， ，證明Tn<2.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：

(1)令可得，令可得；

(2)結合(1)中的結論倒序相加可得： ，則數列是等差數列；

(3) 結合(2)的結論可得，利用放縮裂項求和可得.

試題解析：

(1)因為f＋f＝，所以2f＝，所以f＝.

令x＝，則f＋f＝f＋f＝.

(2)an＝f(0)＋f＋…f＋f(1)，

又 an＝f(1)＋f＋…f＋f(0)，

兩式相加2an＝[f(0)＋f(1)]＋＋[f(1)＋f(0)]＝，

所以an＝，所以an＋1－an＝，故數列{an}是等差數列.

(3) bn＝＝，

Tn＝b＋b＋…＋b＝＋＋…＋≤1＋＋＋…＋

＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－<2.