點(diǎn)M與定點(diǎn)F(-4,0)的距離和它到定直線l∶x=的距離的比是常數(shù)
,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為
,過點(diǎn)F的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P、Q均不在坐標(biāo)軸上).
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)求證:三直線和l經(jīng)過同一點(diǎn).
解:(1)由題設(shè),曲線C是焦點(diǎn)在x軸上且關(guān)于y軸對(duì)稱的橢圓,其中c=4, ∴曲線C的方程是 或設(shè)M(x,y)則 整理, (2)[證法一]不防設(shè) 設(shè) 則直線 將 即 同理 下面只須證 即證:T= ∵點(diǎn)P、Q在橢圓上, ∴ ∴ 即 又P、F、Q三點(diǎn)共線,得 將④代入③,得 從而 因此M與M′重合,故三直線 [證法二]:設(shè)直線PQ的方程為x=ky-4,代入 設(shè)其二根為 P為( 直線 即 同理 只須證 即證 將①中二式代入, 故M與M′重合,三直線 |
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