Question

已知下列命題：
①設(shè)m為直線，α，β為平面，且m⊥β，則“m∥α”是“α⊥β”的充要條件；
②(x3+

1

x

)5的展開(kāi)式中含x³的項(xiàng)的系數(shù)為60；
③設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（0，1），若P（ξ≥2）=p，則P（-2＜ξ＜0）=

1

2

-p；
④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，則m的取值范圍是（-∞，2）；
⑤已知奇函數(shù)f（x）滿足f（x+π）=-f（x），且0＜x＜

π

2

時(shí)f（x）=x，則函數(shù)g（x）=f（x）-sinx在[-2π，2π]上有5個(gè)零點(diǎn)．
其中所有真命題的序號(hào)是（　�。�

• A、③④
• B、③
• C、④⑤
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①設(shè)m為直線，α，β為平面，且m⊥β，則“m∥α”是“α⊥β”的充分不必要條件；
②(x3+

1

x

)5的展開(kāi)式中通項(xiàng)公式T_r+1=

∁

r 5

(x3)5-r(

1

x

)r=

∁

r 5

x15-4r，令15-4r=3，解得r即可得出含x³的項(xiàng)的系數(shù)；
③由于隨機(jī)變量ξ～N（0，1），P（ξ≥2）=p，可得P（-2＜ξ＜0）=

1

2

(1-2p)；
④利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)不等式|x+3|+|x-2|≥|-3-2|，可得5≥2m+1恒成立，解得m的取值范圍；
⑤由奇函數(shù)f（x）滿足f（x+π）=-f（x），可得函數(shù)f（x）的周期T=2π，即函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱(chēng)．函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且-

π

2

＜x＜

π

2

時(shí)，f（x）=x．若f(

π

2

)=1，函數(shù)g（x）=f（x）-sinx在[-2π，2π]上有9個(gè)零點(diǎn)．

解答： 解：①設(shè)m為直線，α，β為平面，且m⊥β，則“m∥α”是“α⊥β”的充分不必要條件，因此不正確；
②(x3+

1

x

)5的展開(kāi)式中通項(xiàng)公式T_r+1=

∁

r 5

(x3)5-r(

1

x

)r=

∁

r 5

x15-4r，令15-4r=3，解得r=3．
含x³的項(xiàng)的系數(shù)為

∁

3 5

=10，因此不正確；
③設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（0，1），若P（ξ≥2）=p，則P（-2＜ξ＜0）=

1

2

(1-2p)=

1

2

-p，
因此正確；
④∵不等式|x+3|+|x-2|≥|-3-2|=5，∴5≥2m+1恒成立，解得m≤2，則m的取值范圍是
（-∞，2]，因此不正確；
⑤∵奇函數(shù)f（x）滿足f（x+π）=-f（x），∴f（x+2π）=f（x），
f（-x+π）=-f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期T=2π．f（-x+π）=f（x），即函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱(chēng)．
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且0＜x＜

π

2

時(shí)f（x）=x，∴-

π

2

＜x≤0，f（x）=x．
分別畫(huà)出函數(shù)y=f（x），y=sinx的圖象．若f(

π

2

)=1，則函數(shù)g（x）=f（x）-sinx在[-2π，2π]上有9個(gè)零點(diǎn)，因此不正確．
其中所有真命題的序號(hào)是③．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的判定定理、二項(xiàng)式定理、正態(tài)分布的性質(zhì)、含絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．