Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，右焦點(diǎn)$F（\sqrt{3}，0）$，且離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程．
（2）過F且傾斜角為45°的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，求△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積．

Answer 1

分析 （1）由橢圓右焦點(diǎn)$F（\sqrt{3}，0）$，且離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線MN的方程為：$y=x-\sqrt{3}$，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得：$5{x^2}-8\sqrt{3}x+8=0$，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式，能求出△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，右焦點(diǎn)$F（\sqrt{3}，0）$，且離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴由題意可知$\left\{\begin{array}{l}c=\sqrt{3}\\ e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，…（2分）
解得a=2，b=1…（5分）
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（6分）
（2）由已知可設(shè)直線MN的方程為：$y=x-\sqrt{3}$…（7分）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$
消去y得：$5{x^2}-8\sqrt{3}x+8=0$…（8分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}\\{x_1}{x_2}=\frac{8}{5}\end{array}\right.$…（9分）
∴$|{MN}|=\sqrt{1+{1^2}}•\sqrt{（{x_1}+{x_2}）-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{{（\frac{{8\sqrt{3}}}{5}）}^2}-4×\frac{8}{5}{x_1}{x_2}}$=$\frac{8}{5}$…（10分）
點(diǎn)O到直線MN的距離為：$d=\frac{{|{0-0-\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$…（11分）
∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}|{MN}|•d=\frac{1}{2}×\frac{8}{5}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}=\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，
故△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為$\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．