Question

3．有以下命題：
①若函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f（x）的值域?yàn)閧0}；
②若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則f（|x|）=f（x）；
③若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則f（x）不存在反函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）存在反函數(shù)f^-1（x），且f^-1（x）與f（x）不完全相同，則f（x）與f^-1（x）圖象的公共點(diǎn)必在直線y=x上；
其中真命題的序號(hào)是①②．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f（x）=0．②利用偶函數(shù)的定義和性質(zhì)判斷．③利用單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．④利用反函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答 解：①若函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f（x）=0，為常數(shù)函數(shù)，所以f（x）的值域是{0}，
所以①正確．
②若函數(shù)為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正確．
③因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=$\frac{1}{x}$在定義域上不單調(diào)，但函數(shù)f（x）存在反函數(shù)，所以③錯(cuò)誤．
④原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，但不一定在直線y=x上，
比如函數(shù)y=-$\sqrt{x+1}$與其反函數(shù)y=x²-1（x≤0）的交點(diǎn)坐標(biāo)有（-1，0），（0，1），
顯然交點(diǎn)不在直線y=x上，所以④錯(cuò)誤．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的判定和應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．