已知曲線C:4x2-y|y|=1.
(Ⅰ)若直線l:y=2x+m與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且
OA
OB
1
3
(其中O為原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(I)分類討論當(dāng)y≥0時(shí),曲線C表示雙曲線的上半部分(包括與y軸的交點(diǎn)).當(dāng)y<0時(shí),曲線C:)表示橢圓的下半部分.因此曲線C由以上兩部分構(gòu)成,如圖所示.雙曲線的漸近線為y=±2x,直線l:y=2x+m與漸近線y=2x平行,且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn).把直線與曲線C的方程聯(lián)立即可得出位置關(guān)系.
(II)直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,由題可得只能交雙曲線上半部分于A和B兩點(diǎn).聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系,再利用數(shù)量積即可得出.
解答:解:(I)當(dāng)y≥0時(shí),曲線C:4x2-y|y|=1化為4x2-y2=1,即
x2
1
4
-y2=1
(y≥0)表示雙曲線的上半部分(包括與y軸的交點(diǎn)).當(dāng)y<0時(shí),曲線C:4x2-y|y|=1化為4x2+y2=1,即
x2
1
4
+y2=1
(y<0)表示橢圓的下半部分.因此曲線C由以上兩部分構(gòu)成,如圖所示.
雙曲線的漸近線為y=±2x,直線l:y=2x+m與漸近線y=2x平行,且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn),
聯(lián)立
y=2x+m
4x2-y2=1
化為4mx+m2+1=0可得m≠0.可知此直線與曲線C的雙曲線部分最多只能有一個(gè)交點(diǎn).
聯(lián)立
y=2x+m
4x2+y2=1
得8x2+4mx+m2-1=0,由△=0交點(diǎn)m=-
2
時(shí)直線與橢圓的下半部分相切.
通過對(duì)m分類討論:m≥1,0≤m<1,-1<m<0,-
2
<m≤-1
,m=-
2
m<-
2
.可得:
當(dāng)m≥1時(shí),直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)0≤m<1時(shí),直線只與橢圓有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)-1<m<0時(shí),直線與雙曲線和橢圓各有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)-
2
<m≤-1時(shí),直線與橢圓有二個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)m=-
2
時(shí),直線只與橢圓有一個(gè)交點(diǎn);

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m=-
2
或m≥0

(II)直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,由題可得只能交雙曲線上半部分于A和B兩點(diǎn).
聯(lián)立l:y=kx+1與4x2-y2=1可得:(4-k2)x2-2kx-2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由題可得-2<k<2,
y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,
OA
OB
1
3
可得x1x2+y1y2
1
3
,解得k2>1,

∴-2<k<-1或1<k<2.
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-2,-1)∪(1,2).
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、分類討論、數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:河北省衡水中學(xué)2011-2012學(xué)年高二上學(xué)期四調(diào)考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:044

已知曲線C:4x2-y|y|=1

(Ⅰ)若直線l:y=2x+m與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(Ⅱ)若直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且·(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:福建省福州三中2012屆高三第四次月考數(shù)學(xué)理科試題 題型:044

已知曲線C:4x2+12xy+9y2-6x-3y=0在矩陣所對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線C1,求曲線C1的方程及焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:4x2-y|y|=1.

(1)若直線l:y=2x+m與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)若直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且·(其中O為原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:4x2-y|y|=1.

(1)若直線l:y=2x+m與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)若直線l:y=kx+1與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且·(其中O為原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案