Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABC，側(cè)棱BB₁與底面ABC所成的角為60°．
（Ⅰ）求直線A₁C與底面ABC所成的角；
（Ⅱ）在線段A₁C₁上是否存在點(diǎn)P，使得平面B₁CP⊥平面ACC₁A₁？若存在，求出C₁P的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）過B₁作B₁O⊥BC于O，
∵側(cè)面BCC₁B₁⊥平面ABC，
∴B₁O⊥平面ABC，
∴∠B₁BC=60°．
又∵BCC₁B₁是菱形，∴O為BC的中點(diǎn)．…（2分）
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，B（0，-1，0），C（0，1，0），，，
∴，又底面ABC的法向量…（4分）
設(shè)直線A₁C與底面ABC所成的角為θ，
則，∴θ=45°
所以，直線A₁C與底面ABC所成的角為45°． …（7分）
（Ⅱ）假設(shè)在線段A₁C₁上存在點(diǎn)P，設(shè)=，
則，，
．…（8分）
設(shè)平面B₁CP的法向量，
則．
令z=1，則，，∴． …（10分）
設(shè)平面ACC₁A₁的法向量，
則
令z=1，則，x=1，∴． …（12分）
要使平面B₁CP⊥平面ACC₁A₁，
則==．
∴．∴． …（14分）
分析：（Ⅰ）過B₁作B₁O⊥BC于O，證明B₁O⊥平面ABC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出A，B，C，A₁，B₁，C₁坐標(biāo)，底面ABC的法向量，設(shè)直線A₁C與底面ABC所成的角為θ，通過，求出直線A₁C與底面ABC所成的角．
（Ⅱ）假設(shè)在線段A₁C₁上存在點(diǎn)P，設(shè)=，通過求出平面B₁CP的法向量，利用求出平面ACC₁A₁的法向量，通過=0，求出．．求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直，直線與平面所成的角，平面與平面垂直，考查空間想象能力，計(jì)算能力．