(2011•西山區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex,t∈R.依次在x=a,x=b,x=c(a<b<c)處取得極值.
(Ⅰ)求t的取值范圍;
(Ⅱ)若a,b,c成等差數(shù)列,求t的值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)公式求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的極值,根據(jù)極值判斷根的個數(shù),判斷各個根是否大于零
(Ⅱ)根據(jù)a,b,c是方程x3-3x2-9x+t+3=0的三個根,可得x3-3x2-9x+t+3=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc,從而可得
a+b+c=3
ab+ac+bc=-9
t+3=-abc
且a+c=2b,由此可求t的值.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=(3x2-12x+3)ex+(x3-6x2+3x+t)ex=(x3-3x2-9x+t+3)ex
∵f(x)有三個極值點
∴x3-3x2-9x+t+3=0有三個根a、b、c.
令g(x)=x3-3x2-9x+t+3,則g'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)
由g'(x)>0可得x<-1或x>3;由g'(x)<0可得-1<x<3;
∴g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上遞增,在(-1,3)上遞減
∵g(x)有三個零點
∴g(-1)=t+8>0,g(3)=t-24<0
解得-8<t<24
(Ⅱ)∵a,b,c是方程x3-3x2-9x+t+3=0的三個根.
∴x3-3x2-9x+t+3=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc
a+b+c=3
ab+ac+bc=-9
t+3=-abc
且a+c=2b
∵a+b+c=3,a+c=2b
∴b=1
a+c=2
a+ac+c=-9

a+c=2
ac=-11

a=1-2
3
c=1+2
3

a=1-2
3
b=1
c=1+2
3

∴t=8.
點評:本題重點考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的極值,考查函數(shù)的零點,解題的關(guān)鍵是確定a,b,c是方程x3-3x2-9x+t+3=0的三個根
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