Question

【題目】已知函數(shù) ，實數(shù)a＞0．
（Ⅰ）若a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x＞0時，不等式f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=2時，f（x）=ln（1+x）﹣ ，f′（x）= ﹣ = ．（x＞﹣1）． ∴函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為（0，+∞）；單減區(qū)間為（﹣1，0）．
（Ⅱ）函數(shù) ，實數(shù)a＞0．f（0）=0．（x＞0）．
f′（x）= ﹣
= ．
令g（x）=（1+x）a﹣（1+x）+ax，g（0）=0．
a≤0時，可得：g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（0）=0，滿足條件．
g′（x）=a（1+x）a﹣1+a，令x=0，則g′（0）=2a﹣1．
當0＜a 時，g′（x）≤0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0．f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（0）=0，滿足條件．
a 時，存在x0＞0，使得g′（x0）=0，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（0）．
從而f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，f（x）＞f（0）=0，不滿足條件，舍去．
綜上可得：a ．
即a的最大值為：
【解析】（Ⅰ）a=2時，f（x）=ln（1+x）﹣ ，f′（x）= ．（x＞﹣1）．即可得出單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）函數(shù) ，實數(shù)a＞0．f（0）=0．（x＞0）．可得f′（x）= ．令g（x）=（1+x）a﹣（1+x）+ax，g（0）=0．對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．