Question

如圖，已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)為A、B，離心率為，直線x-y+l=0經(jīng)過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線分別交于M，N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求線段MN長(zhǎng)度的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)線段MN長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PAS的面積為l？若存在，確定點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意（0，b）在直線x-y+1=0上，代入解得b．再利用，b²+c²=a²，解得a，c即可．
（II）設(shè)直線AS的斜率為k（k＞0），則直線AS：y=k（x+2），與聯(lián)立解得M，把直線y=k（x+2）與橢圓方程聯(lián)立即可解得S，進(jìn)而得到直線BS的方程，即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)即|MN|，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最小值；
（III）利用（II）可得k及點(diǎn)S的坐標(biāo)，可得|AS|，可得AS方程為y=x+2，及P在與AS平行的直線y=x+m上．利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角形的面積公式可得m，把直線y=x+m與橢圓的方程聯(lián)立即可得出交點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（I）由題意（0，b）在直線x-y+1=0上，代入解得b=1．
又∵，b²+c²=a²，解得a=2，．
∴橢圓C的方程為．
（II）由（I）A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)直線AS的斜率為k（k＞0），則直線AS：y=k（x+2），與聯(lián)立解得M．
由，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
∴，∴．
把x_S代入y=k（x+2）得，即S．
∴k_BS=．
∴直線BS的方程為，∴，

∴|MN|=|y_N-y_M|==，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)．
（III）由（II）可知：k=1時(shí)線段MN取得最小值，此時(shí)，=．
可得AS方程為y=x+2，P在與AS平行的直線y=x+m上．
∴點(diǎn)P到AS的距離等于兩平行線距離，∴△ASP的面積為1．
∴=1，
∴，解得或．
又由，得5x²+8mx+4m²-4=0，
△=（8m）2-4×5（4m²-4）=16（5-m²），
驗(yàn)證可知：當(dāng)時(shí)，．
∴P點(diǎn)存在，有兩個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到判別式及根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．