Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-kx；
（1）設k=m+$\frac{1}{m}$（m＞0），若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有且僅有一個極值點，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設M（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)M（x）存在兩個零點x₁，x₂（x₁＞x₂），且滿足2x₀=x₁+x₂，問：函數(shù)M（x）在（x₀，M（x₀））處的切線能否平行于直線y=1，若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得h（x）及h′（x），由題意可知k≥$\frac{5}{2}$，及k=m+$\frac{1}{m}$求得m的取值范圍；
（2）求得M（x）及M′（x），采用反證法，假設，函數(shù)M（x）在（x₀，M（x₀））處的切線平行于直線y=1，根據(jù)題意列出方程，求得k的解析式，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷與已知是否相符，即可驗證是否存在函數(shù)M（x）在（x₀，M（x₀））處的切線平行于直線y=1，

解答 解：因為h（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-kx；
h′（x）=$\frac{1}{x}$+x-k，
由題意可得：k≥$\frac{5}{2}$，
m+$\frac{1}{m}$=k≥$\frac{5}{2}$，
可得0＜m≤$\frac{1}{2}$或m≥2，
綜上，m的取值范圍為{m丨0＜m≤$\frac{1}{2}$或m≥2}，
假設，函數(shù)M（x）在（x₀，M（x₀））處的切線平行于直線y=1，
M（x）=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+kx，M′（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{x}$-x+k，
$\left\{\begin{array}{l}{ln{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}-k{x}_{1}=0}\\{ln{x}_{2}+\frac{1}{2}{x}_{2}^{2}-k{x}_{2}=1}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=2{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}-{x}_{0}+k=0}\end{array}\right.$，
由ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）=-k（x₁-x₂），
∴-k=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$-x₀，結(jié)合$\frac{1}{{x}_{0}}-{x}_{0}+k=0$，
可得：ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$，
令u=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），
∴l(xiāng)nu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$=0，u∈（0，1），
設y=lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$，u∈（0，1），
y′=$\frac{1}{u}$+$\frac{2（u+1）-2（u-1）}{（u+1）^{2}}$=$\frac{（u+1）^{2}-4u}{u（u+1）^{2}}$=$\frac{（u-1）^{2}}{u（u+1）^{2}}$＞0，
所以函數(shù)y=lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$，在（0，1）上單調(diào)遞增，
因此，y＜0，即lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$＜0，也就是ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$，此時與ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$矛盾，
所以
數(shù)M（x）在（x₀，M（x₀））處的切線不能平行于直線y=1，

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合運用，反正法，根據(jù)已知函數(shù)關(guān)系式，構(gòu)造輔助函數(shù)并根據(jù)導數(shù)求求單調(diào)區(qū)間及最值，考查分析問題及解決問題得能力，屬于中檔題．