(2011•石景山區(qū)一模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1經(jīng)過點(diǎn)P(
6
2
1
2
),離心率是
2
2
,動(dòng)點(diǎn)M(2,t)(t>0)
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求以O(shè)M為直徑且別直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程;
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)F做OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,證明線段ON長是定值,并求出定值.
分析:(1)由橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1離心率是
2
2
,設(shè)橢圓方程設(shè)為
x2
4k2
+
y2
2k2
=1
,把點(diǎn)P(
6
2
,
1
2
)代入,得
6
4
4k2
+
1
4
2k2
=1
,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)以O(shè)M為直徑的圓的圓心是(1,
t
2
),半徑r=
t2
4
+1
,方程為(x-1)2+(y-
t
2
)2=
t2
4
+1
,由以O(shè)M為直徑圓直線3x-4y-5=0截得的弦長為2,知
|3-2t-5|
5
=
t
2
,由此能求出所求圓的方程.
(3)設(shè)N(x0,y0),點(diǎn)N在以O(shè)M為直徑的圓上,所以x02+y02=2x0+ty0,又N在過F垂直于OM的直線上,所以2x0+ty0=2,由此能求出ON.
解答:解:(1)∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1經(jīng)過點(diǎn)P(
6
2
,
1
2
),
離心率是
2
2
,
∴橢圓方程設(shè)為
x2
4k2
+
y2
2k2
=1

把點(diǎn)P(
6
2
,
1
2
)代入,
6
4
4k2
+
1
4
2k2
=1
,
解得4k2=2,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2
2
+y2=1

(2)以O(shè)M為直徑的圓的圓心是(1,
t
2
),
半徑r=
t2
4
+1
,
方程為(x-1)2+(y-
t
2
)2=
t2
4
+1
,
∵以O(shè)M為直徑圓直線3x-4y-5=0截得的弦長為2,
∴圓心(1,
t
2
)到直線3x-4y-5=0的距離d=
r2-1
=
t
2
,
|3-2t-5|
5
=
t
2
,
解得t=4,
∴所求圓的方程是(x-1)2+(y-2)2=5.
(3)設(shè)N(x0,y0),
點(diǎn)N在以O(shè)M為直徑的圓上,
所以x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,
即:x02+y02=2x0+ty0,
又N在過F垂直于OM的直線上,
所以y0=-
2
t
(x0-1)
,
即2x0+ty0=2,
所以ON=
2
點(diǎn)評:本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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2-x,x∈(-∞,1)
x2,x∈[1,+∞)
,那么f(-1)=
2
2
,若f(x)>4則x的取值范圍是
(-∞,-2)∪(2,∞)
(-∞,-2)∪(2,∞)

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a
=(1,n),
b
=(-1,n),若2
a
+
b
b
垂直,則n=
3
3
3
3

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(Ⅰ)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求k的值;
(Ⅱ)令bn=an+1-an(n∈N*),若b1=1,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,求函數(shù)f(x)的解析式.

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