【題目】已知函數(shù)．

(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)求證：存在唯一的，使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為；

(Ⅲ)比較與的大小，并加以證明.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ) ，證明見解析.

【解析】試題分析：(I)由切線斜率為及，由點(diǎn)斜式求切線即可；

(Ⅱ)由題意只需證明方程 在區(qū)間有唯一解，設(shè)函數(shù) 由單調(diào)性證明即可；

(Ⅲ) 首先證明當(dāng)時(shí)， ，由即可證得.

試題解析：

（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，

導(dǎo)函數(shù)為．

所以， 又，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（Ⅱ）由已知．

所以只需證明方程 在區(qū)間有唯一解．

即方程 在區(qū)間有唯一解．

設(shè)函數(shù) ，

則 ．

當(dāng) 時(shí)， ，故在區(qū)間單調(diào)遞增．

又 ， ，

所以 存在唯一的，使得．

綜上，存在唯一的，使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．

（Ⅲ）．證明如下：

首先證明：當(dāng)時(shí)， ．

設(shè) ，

則 ．

當(dāng) 時(shí)， ， ，

所以 ，故在單調(diào)遞增，

所以 時(shí)，有，

即當(dāng) 時(shí)，有．

所以 ．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，且對任意x＞0，都有f′(x)＞.

(1)判斷函數(shù)F(x)＝在(0，＋∞)上的單調(diào)性；

(2)設(shè)x1，x2∈(0，＋∞)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

(3)請將(2)中結(jié)論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2017·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1.現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB，AC.

(1)在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD∥平面MPC?

(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面MPC的距離．

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【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，為正三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD. E，M分別為線段AB，PD的中點(diǎn).

（I）求證：PE⊥平面ABCD；

（II）求證：PB//平面ACM；

（III）在棱CD上是否存在點(diǎn)G，使平面GAM⊥平面ABCD，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中， 平面， .過的平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).

(l)求證： 平面；

(Ⅱ)求證： ；

(Ⅲ)記四棱錐的體積為，三棱柱的體積為.若，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)， 的垂直平分線與交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，證明直線過定點(diǎn)，并求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，且， .

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－aln x.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)≥2a＋aln.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)．

（1）解不等式；

（2）若關(guān)于的方程的解集為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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