Question

已知函數(shù)在處存在極值.
(1)求實數(shù)的值；
(2)函數(shù)的圖像上存在兩點A，B使得是以坐標(biāo)原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在軸上，求實數(shù)的取值范圍；
(3)當(dāng)時，討論關(guān)于的方程的實根個數(shù).

Answer 1

(1) .（2）的取值范圍是.（3）①當(dāng)或時，方程有兩個實根；②當(dāng)時，方程有三個實根；③當(dāng)時，方程有四個實根.

試題分析：（1）求導(dǎo)得，將代入解方程組即得.(2) 由（1）得根據(jù)條件知A,B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè).接下來根據(jù)大于等于1和小于1分別求解.(3)由方程
知，顯然0一定是方程的根，所以僅就時進行研究，這時方程等價于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象即可得方程的要的個數(shù).
試題解析：（1）當(dāng)時，.      1分
因為函數(shù)在處存在極值，所以
解得.      4分
(2) 由（I）得
根據(jù)條件知A,B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè).
若，則，
由是直角得，，即，
即.此時無解；      6分
若，則. 由于AB的中點在軸上，且是直角，所以B點不可能在軸上，即. 同理有，即，.
因為函數(shù)在上的值域是，
所以實數(shù)的取值范圍是.      8分
（3）由方程，知，可知0一定是方程的根， 10分
所以僅就時進行研究：方程等價于
構(gòu)造函數(shù)
對于部分，函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線的一部分，
當(dāng)時取得最大值，其值域是；
對于部分，函數(shù)，由，
知函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以，①當(dāng)或時，方程有兩個實根；
②當(dāng)時，方程有三個實根；
③當(dāng)時，方程有四個實根.       14分