【題目】知函數(shù)f(x)=ax2﹣2x+lnx(a≠0,a∈R).
(1)判斷函數(shù) f (x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù) f (x)有兩個極值點x1,x2,求證:f(x1)+f(x2)<﹣3.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍,分別令得增區(qū)間, 得減區(qū)間;(2)求出,令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值即可證明.
試題解析:(1)由題意得,函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=2ax﹣2+=,
令g(x)=2ax2﹣2x+1,△=4﹣8a,
①a≥時,△=4﹣8a≤0,f′(x)≥0恒成立,
則f(x)在(0,+∞)遞增;
②a<時,△=4﹣8a>0,
由g(x)=0,解得:x1=,x2=,
(i)0<a<時,0<x1<x2,
此時f(x)在區(qū)間(x1,x2)遞減,在(0,x1),(x2,+∞)遞增;
(ii)a<0時,x2<0<x1,
此時f(x)在區(qū)間(x1,+∞)遞減,在(0,x1)遞增,
∴a≥時,f(x)在(0,+∞)遞增,
0<a<時,f(x)在區(qū)間(x1,x2)遞減,在(0,x1),(x2,+∞)遞增,
a<0時,f(x)在區(qū)間(x1,+∞)遞減,在(0,x1)遞增;
(2)證明:由(1)得0<a<時,函數(shù)f(x)有2個極值點x1,x2,
且x1+x2=,x1x2=,
∴f(x1)+f(x2)=﹣(lna+)﹣(1+ln2),
令h(a)=﹣(lna+)﹣(1+ln2),(0<a<),
則h′(a)=﹣(﹣)=>0,
∴h(a)在(0,)遞增,
則h(a)<h()=﹣(ln+2)﹣(1+ln2)=﹣3,
即f(x1)+f(x2)<﹣3.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系,隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如表統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:
收入x (萬元) | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
支出y (萬元) | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |
根據(jù)如表可得回歸直線方程y= x+ ,其中 =0.76, = ﹣ ,據(jù)此估計,該社區(qū)一戶收入為20萬元家庭年支出為( )
A.11.4萬元
B.11.8萬元
C.15.2萬元
D.15.6萬元
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線的普通方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求曲線、的極坐標方程;
(2)求曲線與交點的極坐標,其中, .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ +lnx,a∈R.
(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(3)討論函數(shù)g(x)=f′(x)﹣x的零點個數(shù).
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【題目】設(shè)全集為R,函數(shù) 的定義域為M,則RM為( )
A.(2,+∞)
B.(﹣∞,2)
C.(﹣∞,2]
D.[2,+∞)
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【題目】關(guān)于函數(shù)f(x)=lg (x≠0,x∈R)有下列命題:
①函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;
②在區(qū)間(﹣∞,0)上,函數(shù)y=f(x)是減函數(shù);
③函數(shù)f(x)的最小值為lg2;
④在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)是增函數(shù).
其中正確命題序號為 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2x2﹣4x+a,g(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若函數(shù)f(x)在[﹣1,2m]上不具有單調(diào)性,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若f(1)=g(1).
(。┣髮崝(shù)a的值;
(ⅱ)設(shè) ,t2=g(x), ,當x∈(0,1)時,試比較t1 , t2 , t3的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如圖:
(1)求頻率分布直方圖中a的值;
(2)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù);
(3)從成績在[50,70)的學(xué)生任選2人,求此2人的成績都在[60,70)中的概率.
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