分析 (1)取AB中點O,連結(jié)PO,CO,依題意,可證PO⊥平面ABC,從而可證得平面PAB⊥平面ABCD;
(2)以O(shè)為原點,OC,OB,OP所在的直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,可求得C、A、B、P各點的坐標,從而可得:$\overrightarrow{AC}$=($\sqrt{3}$,1,0),$\overrightarrow{AP}$=(0,1,1),設(shè)平面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),可求得此坐標$\overrightarrow{n}$=($\frac{\sqrt{3}}{3}$,-1,1),而平面BAC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),設(shè)二面角P-AC-B大小為θ,由cosθ=|cos<$\overrightarrow{n}$,$\overrightarrow{m}$>|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$可求得答案.
解答 解:(1)證明:取AB中點O,連結(jié)PO,CO,
由PA=PB=$\sqrt{2}$,AB=2,知△PAB為等腰直角三角形,
∴PO=1,PO⊥AB,由AB=BC=2,∠ABC=60°,知△ABC為等邊三角形,
∴CO=$\sqrt{3}$,由PC=2得PO2+CO2=PC2,∴PO⊥CO,
又AB∩CO=O,∴PO⊥平面ABC,又PO?平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABCD;
(2)如圖所示,以O(shè)為原點,OC,OB,OP所在的直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
則C($\sqrt{3}$,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1),A(0,-1,0)得:$\overrightarrow{AC}$=($\sqrt{3}$,1,0),
$\overrightarrow{AP}$=(0,1,1),設(shè)平面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=y+z=0}\end{array}\right.$,取y=1,則x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,z=1,即$\overrightarrow{n}$=($\frac{\sqrt{3}}{3}$,-1,1),
平面BAC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
設(shè)二面角P-AC-B大小為θ,易知其為銳角,
所以cosθ=|cos<$\overrightarrow{n}$,$\overrightarrow{m}$>|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}+1+1}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
點評 本題考查二面角的平面角的求法,著重考查面面垂直的判定與向量法求二面角,考查作圖能力、推理證明能力與運算能力,屬于難題.
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A. | -1≤m<0 | B. | -1<m≤0 | C. | -1≤m≤0 | D. | -1<m<0 |
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A. | (2,+∞) | B. | (-∞,-1)∪(3,+∞) | C. | (-4,2) | D. | (-∞,-4) |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充分必要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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