Question

20．若函數(shù)f（x）滿足：對(duì)于其定義域D內(nèi)的任何一個(gè)自變量x₀，都有函數(shù)值f（x₀）∈D，則稱函數(shù)f（x）在D上封閉．
（1）若下列函數(shù)的定義域?yàn)镈=（0，1），試判斷其中哪些在D上封閉，并說(shuō)明理由．f₁（x）=2x-1，f₂（x）=2^x-1．
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$的定義域?yàn)椋?，2），是否存在實(shí)數(shù)a，使得g（x）在其定義域（1，2）上封閉？若存在，求出所有a的值，并給出證明：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）已知函數(shù)f（x）在其定義域D上封閉，且單調(diào)遞增．若x₀∈D且f（f（x₀））=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義域，求得函數(shù)的定義域，利用新定義，即可得到結(jié)論；
（2）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組，可求a的值．
（3）函數(shù)f（x）在其定義域D上封閉，且單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)函數(shù)性質(zhì)f（x₀）∈D，則有唯一的x₀∈D，由此能證明f（x₀）=x₀．

解答 解：（1）在f₁（x）=2x-1中，對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₀，
都有函數(shù)值f₁（x₀）∈（-1，1）∉D₁，
故函數(shù)f₁（x）=2x-1在D₁上不封閉；
在f₂（x）=2^x-1中，2^x-1∈（0，1），在D₁上封閉．
（2）g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$的定義域?yàn)椋?，2），對(duì)稱中心為（-2，5），
當(dāng)a+10＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$在D₂上為增函數(shù)，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥1}\\{f（2）≤2}\\{a＞-10}\end{array}\right.$，解得a=2
當(dāng)a+10＜0時(shí)，函數(shù)g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$在D₂上為減函數(shù)，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤2}\\{f（2）≥1}\\{a＜-10}\end{array}\right.$，解得a∈∅
綜上，所求a的值等于2．
證明：（3）∵函數(shù)f（x）在其定義域D上封閉，且單調(diào)遞增．
x₀∈D且f（f（x₀））=x₀，
∴根據(jù)單調(diào)函數(shù)性質(zhì)f（x₀）∈D，則有唯一的x₀∈D，
∴f（x₀）=x₀．

點(diǎn)評(píng) 本題以新定義函數(shù)為載體，考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，有一定的難度．