Question

（2011•溫州二模）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c．已知角A是銳角且cos2B-cos2A=2sin（

π

3

+B）sin（

π

3

-B）
（I ）求角A的大小：
（II）試確定滿(mǎn)足條件a=2

2

，b=3的△ABC的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（I）把已知等式的左邊第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，右邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，并利用平方差公式變形，整理后再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系變形，可求出cos2A的值，由A的范圍，得到2A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（II）由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，再由a小于b，利用三角形的邊角關(guān)系得到A小于B，得到滿(mǎn)足sinB值的角B有兩個(gè)解，則滿(mǎn)足條件的三角形ABC的個(gè)數(shù)為2．

解答：解：（I）∵cos2B-cos2A=2sin（

π

3

+B）sin（

π

3

-B），
且cos2B-cos2A=2cos²B-1-cos2A，
2sin（

π

3

+B）sin（

π

3

-B）=2（

3

2

cosB+

1

2

sinB）（

3

2

cosB-

1

2

sinB）
=2（

3

4

cos²B-

1

4

sin²B）=

3

2

cos²B-

1

2

sin²B，
∴2cos²B-1-cos2A=

3

2

cos²B-

1

2

sin²B，
整理得cos2A=

1

2

（cos²B+sin²B）-1=-

1

2

，
∵A為銳角，∴2A∈（0，π），
∴2A=

2π

3

，
∴A=

π

3

；
（II）∵a=2

2

，b=3，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=

3× 3 2

2 2

=

3 6

8

，
∵a＜b，∴A＜B，
∴角B為銳角或鈍角，
則滿(mǎn)足條件的△ABC有兩個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．