Question

4．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₃=1且a₄，a₃+a₅，a₆為等差數(shù)列{b_n}的前三項．
（1）求S_n與數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}$}的前n項和T_n，試問是否存在正整數(shù)m，對任意的n∈N^*使得T_n•b_m≤1？若存在請求出m的最大值，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)可知：2（a₃+a₅）=a₄+a₆，即可求得公比q，由等比數(shù)列前n項和公式，即可求得S_n，根據(jù)等差{b_n}的前三項為b₁=2，b₂=5，b₃=8，即b₁=2，d=3，即可求得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）由$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，利用“裂項法”即可求得T_n，?n∈Z，$\frac{1}{10}≤{T_n}＜\frac{1}{6}$，由T_nb_m≤1知只要存在正整數(shù)m使${b_m}≤\frac{1}{T_n}$，代入即可求得正整數(shù)m的最大值．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₃=1且a₄，a₃+a₅，a₆為等差數(shù)列{b_n}（n∈N^*）三項，
則2（a₃+a₅）=a₄+a₆，得2（1+q²）=q+q³=q（1+q²），得q=2．
從而${S_n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+…+{2^{n-3}}=\frac{{\frac{1}{4}（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n-2}}-\frac{1}{4}$，
∴{b_n}的前三項為b₁=2，b₂=5，b₃=8，
∴公差d=3，
故等差數(shù)列的通項公式為b_n=3n-1．
（2）由（1）知，$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}\}$的前n項和：
${T_n}=\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）+…+（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$，
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$．
從而得對于?n∈Z，$\frac{1}{10}≤{T_n}＜\frac{1}{6}$，故由T_nb_m≤1知只要存在正整數(shù)m使${b_m}≤\frac{1}{T_n}$，
即只要3m-1≤6，解得$m≤\frac{7}{3}$．
∵m為正整數(shù)，
∴m的最大值為2．

點評 本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，不等式恒成立問題的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．