Question

已知函數(shù)f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3，g（x）=（3-k²）（log_ax+log_xa），（其中a＞1），設(shè)t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）當(dāng)x∈（1，a）∪（a，+∞）時，試將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（1，+∞）時，若存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立，試求k的范圍．

Answer 1

分析：（I）由t=log_ax+log_xa，可得(logax)2+(logxa)2=t²-2，(logax)3+(logxa)3=t³-3t，進而可將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），進而利用導(dǎo)數(shù)法，可判斷出函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立等價于f（x）-g（x）的最大值大于0，構(gòu)造函數(shù)m（t）=f（x）-g（x）=-t³+kt²+k²t-2k，（t≥2），利用導(dǎo)數(shù)法，分類討論函數(shù)的最大值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵t=log_ax+log_xa，a＞1，
∴(logax)2+(logxa)2=(logax +logxa)2-2=t²-2，
(logax)3+(logxa)3=(logax +logxa) [(logax +logxa)2-3]=t³-3t，
∴f（x）可轉(zhuǎn)化為：h（t）=-t³+kt²+3t-2k，（t＞2）
∴h′（t）=-3t²+2kt+3…（3分）
設(shè)t₁，t₂是h′（t）=0的兩根，
則t₁•t₂=-1＜0，
∴h′（t）=0在定義域內(nèi)至多有一解，
欲使h（t）在定義域內(nèi)有極值，只需h′（t）=-3t²+2kt+3=0在（3，+∞）內(nèi)有解，
且h′（t）的值在根的左右兩側(cè)異號，
∴h′（2）=4k-9＞0
解得k＞

9

4

…（6分）
綜上：當(dāng)k＞

9

4

時h（t）在定義域內(nèi)有且僅有一個極值，當(dāng)k≤

9

4

時h（t）在定義域內(nèi)無極值．
（Ⅱ）∵存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立等價于f（x）-g（x）的最大值大于0，
∵令m（t）=f（x）-g（x）=-t³+kt²+k²t-2k，（t≥2）
∴m′（t）=-3t²+2kt+k²，
令m′（t）=0，解得t=k或t=-

k

3

當(dāng)k＞2時，m（t）_max=m（k）＞0得k＞2；
當(dāng)0＜k≤2時，m（t）_max=m（2）＞0得

17 -1

2

＜k≤2…（12分）
當(dāng)k=0時，m（t）_max=m（2）＜0不成立 …（13分）
當(dāng)-6≤k＜0時，m（t）_max=m（2）＞0得-6≤k＜

- 17 -1

2

；
當(dāng)k＜-6時，m（t）_max=m（-

k

3

）＞0得k＜-6；
綜上得：k＜

- 17 -1

2

或k＞

17 -1

2

…（16分）

點評：本題考查的知識點是對數(shù)的運算性質(zhì)，函數(shù)的極值，函數(shù)的最值，存在性問題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題