Question

已知偶函數滿足：當時，，當時，．
(Ⅰ)求表達式；
(Ⅱ)若直線與函數的圖像恰有兩個公共點，求實數的取值范圍；
(Ⅲ)試討論當實數滿足什么條件時，直線的圖像恰有個公共點，且這個公共點均勻分布在直線上．（不要求過程）

Answer 1

(Ⅰ)．;(Ⅱ)．  (Ⅲ)．當時，或
當時， 此時; 當時，，或
當時此時．

試題分析：（1）由為偶函數，則有，又因為當，及，，所以當時，，即可求出 ．當時，同理可求出此時的．（2）畫出的大致圖像，由圖1易知，當時，函數與恰有兩個交點，所以當時，函數與無交點，易得當時恒成立，當時，則有，即可求出．
當，時，函數的圖像如圖2所示，此時直線的圖像若恰有個公共點，且這個公共點均勻分布在直線上，則易知時符合題意，設時由左到右的兩個交點的橫坐標分別為，由函數的對稱性易知，，此時．其他情況同理即可求出．

圖1                             圖2
試題解析：（1）為偶函數，則有．
當時，，即
當時，，，即，故有
（2）如下圖，當時，由圖像易知函數與恰有兩個交點，當時，函數與無交點．由，．
當時，此時符合題意；
當時，由，即，可得．由偶函數的對稱性可知時，與時的情況相同．
故綜上：

（3）當時，或；
當時， 此時；
當時，，或；
當時此時．