Question

設A是數集，滿足a∈A時，必有

1

1-a

∈A，
（1）若2∈A，問：
①A中至少有幾個元素？并把它列舉出來？
②A中還可以有其它元素嗎？
（2）若A中只能有一個元素且2∉A，實數a是否存在？

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷

專題：集合

分析：（1）①根據題意，可得若2∈A，則在A中還有兩個元素是：

1

1-2

=-1，

1

1+1

=

1

2

，據此解答即可；
②假設還有其他元素，利用滿足a∈A時，必有

1

1-a

∈A，進一步

1

1- 1 1-a

=1-

1

a

∈A，

1

1-(1- 1 a )

=a∈A，得到A中可以有其他元素；
（2）假設存在，利用一直得到解答．

解答： 解：（1）①根據題意，可得若2∈A，則在A中還有兩個元素是：

1

1-2

=-1，

1

1+1

=

1

2

，所以A中至少有3個元素，分別是2，-1，

1

2

；
②假設還有其他元素，因為a∈A時，必有

1

1-a

∈A，所以

1

1- 1 1-a

=1-

1

a

∈A，所以

1

1-(1- 1 a )

=a∈A，得到A中可以有其他元素；
（2）若A中只能有一個元素且2∉A，實數a假設存在，則a=

1

1-a

=1-

1

a

無解，所以假設錯誤；所以若A中只能有一個元素且2∉A，實數a不存在．

點評：本題考查了元素與集合的關系，主要根據集合元素的特征進行求解，對于存在型的問題，需要先假設存在有條件列出方程進行求解說明．