Question

設F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左、右焦點，過點F₁的直線交橢圓E于A、B兩點，若|AF₁|=3|F₁B|，AF₂⊥x軸，則橢圓E的方程為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出B（-

5

3

c，-

1

3

b²），代入橢圓方程，結(jié)合1=b²+c²，即可求出橢圓的方程．

解答： 解：由題意，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），AF₂⊥x軸，∴|AF₂|=b²，
∴A點坐標為（c，b²），
∵|AF₁|=3|F₁B|，
∴

(2c)2+(b2)2

=3

(xB+c)2+y2

∴B（-

5

3

c，-

1

3

b²），
代入橢圓方程可得(-

5

3

c)2+

(- 1 3 b2)2

b2

=1，
∵1=b²+c²，
∴b²=

2

3

，c²=

1

3

，
∴x²+

3

2

y2=1．
故答案為：x²+

3

2

y2=1．

點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題．