Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點(diǎn)（

3

，

1

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)S是橢圓上位于x軸上方的動點(diǎn)，直線AS，BS與直線l：x=

34

15

分別交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN長度的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點(diǎn)（

3

，

1

2

），可得

c a = 3 2 3 a2 + 1 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a，b即可．
（2）設(shè)直線AS的斜率為k＞0，利用k_AS•k_BS=-

b2

a2

，可得kBS=-

1

4k

．直線AS，BS的方程分別為：y=k（x+2），y=-

1

4k

(x-2)．令x=

34

15

，可得M，N．求出|MN|再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點(diǎn)（

3

，

1

2

），
∴

c a = 3 2 3 a2 + 1 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1．
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)直線AS的斜率為k＞0，
∵k_AS•k_BS=-

1

4

，
∴kBS=-

1

4k

．
∴直線AS，BS的方程分別為：
y=k（x+2），y=-

1

4k

(x-2)．
令x=

34

15

，則M(

34

15

，

64k

15

)，N(

34

15

，-

1

15k

)．
∴|MN|=

64k

15

+

1

15k

≥

1

15

×2

64k• 1 k

=

16

15

，當(dāng)且僅當(dāng)k=

1

8

時(shí)取等號．
∴線段MN長度的最小值為

16

15

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．