Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}分別為等差和等比數(shù)列，且a₁=1，d＞0，a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄（n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求公差d，進(jìn)而可求
a_n，然后結(jié)合已知可求等比數(shù)列的公比，代入bn=b2qn-2可求
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)的特點(diǎn)，考慮利用錯(cuò)位相減求和

解答：解：（1）∵a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄，b₂，b₃，b₄成等比數(shù)列
∴a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列
∵a₁=1
∴（1+d）（1+13d）=（1+4d）²
∵d＞0
解可得d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
∵a₂=b₂=3，a₅=b₃=9
∴q=3，bn=b2qn-2=3•3^n-2=3^n-1
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1
∴s_n=1•3⁰+3•3+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1
3s_n=1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ
兩式相減可得，-2s_n=1+2（3+3²+…+3^n-1-（2n-1）•3ⁿ
=1+2•

3(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)•3n
=3ⁿ-2-（2n-1）•3ⁿ
∴sn=(n-1)•3n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用及數(shù)列的錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用