Question

14．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，
AB=PC=2，PA=PB=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)H是PB上的動(dòng)點(diǎn)，求CH與平面PAB所成最大角的正切值．

Answer 1

分析 （I）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)PO、CO，由PA=PB可得PO⊥AB，利用特殊三角形的性質(zhì)計(jì)算PO，OC，PC，可證PO⊥OC，于是PO⊥平面ABCD，故平面PAB⊥平面ABCD；
（II）由面面垂直的性質(zhì)可知∠CHO為CH與平面PAB所成的角，故當(dāng)OH最小值，tan∠CHO=$\frac{OC}{OH}$取得最大值．

解答 （Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)PO、CO，
∵PA=PB=$\sqrt{2}$，AB=2，∴△PAB為等腰直角三角形，
∴PO=1，PO⊥AB，
∵AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，
∴$CO=\sqrt{3}$，又PC=2，
∴PO²+CO²=PC²，∴PO⊥CO，
又AB∩CO=O，AB?平面ABCD，CO?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABC，又PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OC⊥AB，OC?平面ABCD，
∴OC⊥平面PAB，
∴∠CHO為CH與平面PAB所成的角．
∵tan∠CHO=$\frac{CO}{OH}$，∴當(dāng)OH⊥PB時(shí)，OH取得最小值，此時(shí)tan∠CHO取得最大值．
當(dāng)OH⊥PB時(shí)，OH=$\frac{PO•OB}{PB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴tan∠CHO=$\frac{CO}{OH}$=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．