Question

已知：以點C（t，

2

t

）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點．
（1）寫出圓C的標準方程（含t表示）
（2）求證：△OAB的面積為定值；
（3）設直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，若OM=ON，求圓C的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）求出半徑，即可寫出圓的方程；
（2）令x=0，y=0，解出A、B的坐標，表示出面積即可得出結論；
（3）通過題意解出OC的方程，解出t的值，直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，判斷t是否符合要求，可得圓的方程．

解答： （1）解：∵⊙C過原點，OC²=t2+

4

t2

．
∴⊙C的方程是(x-t)2+(y-

2

t

)2=t²+

4

t2

              （2分）
（2）證明：令x=0，得y₁=0，y₂=

4

t

；
令y=0，得x₁=2，x₂=2t，
∴S_△OAB=

1

2

OA•OB=

1

2

•|

4

t

|•|2t|=4，即△OAB的面積為定值．（7分）
（3）解：∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分線段MN．
∵k_MN=-2，∴k_oc=

1

2

，
∴直線OC的方程是y=

1

2

x，
∴

2

t

=

1

2

t，解得：t=2或t=-2，（9分）
當t=2時，圓心C的坐標為（2，1），OC=

5

，
此時C到直線y=-2x+4的距離d=

1

5

＜

5

，
圓C與直線y=-2x+4相交于兩點．                                （11分）
當t=-2時，圓心C的坐標為（-2，1），OC=

5

，
此時C到直線y=-2x+4的距離d=

9

5

＞

5

，
圓C與直線y=-2x+4不相交，
∴t=-2不符合題意舍去，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．                            （14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，圓的標準方程等有關知識，屬于中檔題．