Question

在△ABC中，已知tanB=

1

2

，cosA=

4 17

17

，AB邊的中線長CD=2，則△ABC的面積為

6

．

Answer 1

分析：由cosA的值，及A為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，進而確定出tanA的值，再由tanB的值，利用誘導公式及兩角和與差的正切函數公式求出tanC的值小于0，可得出C為鈍角，根據題意畫出相應的圖形，過C作CE垂直于AB，在直角三角形AEC與直角三角形BEC中，根據tanA與tanB的值，利用銳角三角函數定義，設EC=x，則有AE=4x，BE=2x，表示出AB，由D為中點，表示出BD，由BD-BE表示出DE，在直角三角形ECD中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AB與CE的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：∵cosA=

4 17

17

，A為三角形的內角，
∴sinA=

1-cos2A

=

17

17

，
∴tanA=

1

4

，又tanB=

1

2

，
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

6

7

＜0，
∴C為鈍角，
根據題意畫出相應的圖形，如圖所示，
過C作CE⊥AB，交AB于點E，
在Rt△AEC和Rt△BEC中，設EC=x，則有AE=4x，BE=2x，
∴AB=AE+EB=6x，又D為AB的中點，
∴BD=AD=3x，
∴ED=BD-BE=x，
在Rt△EDC中，EC=DE=x，CD=2，
根據勾股定理得：x²+x²=4，
解得：x=

2

，
則S_△ABC=

1

2

×6

2

×

2

=6．
故答案為：6

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的正切函數公式，銳角三角函數定義，以及勾股定理，利用了方程的思想，根據題意畫出相應的圖形是解本題的關鍵．