設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*.
(1)求a1,a2,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.
(1) a1=1 a2=2 an=2n-1 (2) Bn=1+(n-1)·2n
解析解:(1)令n=1,得2a1-a1=,即a1=.
因?yàn)閍1≠0,所以a1=1.
令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2.
當(dāng)n≥2時(shí),由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1兩式相減,
得2an-2an-1=an,即an=2an-1.
于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.
因此,an=2n-1.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.
(2)由(1)知,nan=n·2n-1.
記數(shù)列{n·2n-1}的前n項(xiàng)和為Bn,
于是Bn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①
2Bn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②
①-②,得-Bn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n.
從而Bn=1+(n-1)·2n.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2013·天津高考)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)證明Sn+≤(n∈N*).
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已知數(shù)列的首項(xiàng).
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)記,若,求最大正整數(shù)的值;
(3)是否存在互不相等的正整數(shù),使成等差數(shù)列,且成等比數(shù)列?如果存在,請給予證明;如果不存在,請說明理由.
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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,設(shè)bn=an+1-2an.證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足b1=2,anbn+1=2an+1bn.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2an+1}是 “平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Tn關(guān)于n的表達(dá)式.
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已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=(3n-1)an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若不等式(-1)nλ<Tn對一切n∈N*恒成立,求λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
數(shù)列記
(1)求b1、b2、b3、b4的值;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知,且構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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