Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)），曲線C1的方程為ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)P是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為AP的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線l與直線C2交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥2 ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，

曲線C1的極坐標(biāo)方程ρ（ρ﹣4sinθ）=12，

可得曲線C1的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2﹣4y=12，

設(shè)點(diǎn)P（x′，y′），Q（x，y），

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 ，代入x2+y2﹣4y=12，

得點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程為：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4

（2）解：直線l的普通方程為：y=ax，

設(shè)圓心到直線的距離為d，

由弦長(zhǎng)公式可得，|MN|=2 ≥2 ，

可得圓心（3，1）到直線的距離為d= ≤ ，

即為4a2﹣3a≤0，

解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[0， ]

【解析】（1）首先，將曲線C1化為直角坐標(biāo)方程，然后，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，建立關(guān)系，從而確定點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；（2）首先，將直線方程化為普通方程，然后，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，解不等式即可得到取值范圍．